На первую VAKANSII.com.ua
   На первую VAKANSII.com.ua  На первую VAKANSII.com.ua
СЕГОДНЯ НА САЙТЕ:  162 ВАКАНСИЙ. НОВЫХ - 19 Интернет
  47262 РЕЗЮМЕ. НОВЫХ - 14 Если не работает
 Сайт газеты

  • Страхования
  • Фехтование
  • Инвестирование
  • ПротивоГАЗы
  • Как авто
  • Респираторы
  • Средства пожаротушения
  • Новости
  •  

    Статьи

    WikiZero - Оптимізація (математика)

    open wikipedia design.

    Цей термін має також інші значення див. оптимізація .

    Оптимізація - в математики , інформатики і дослідженні операцій задача знаходження екстремуму (Мінімуму або максимуму) цільової функції в деякій області конечномерного векторного простору , Обмеженою набором лінійних і / або нелінійних рівності і / або нерівностей .

    Теорію і методи розв'язання задачі оптимізації вивчає математичне програмування.

    Математичне програмування - це область математики, що розробляє теорію, чисельні методи рішення багатовимірних задач з обмеженнями. На відміну від класичної математики, математичне програмування займається математичними методами вирішення завдань знаходження найкращих варіантів з усіх можливих. [1]

    В процесі проектування ставиться зазвичай завдання визначення найкращих, в деякому сенсі, структури або значень параметрів об'єктів. Таке завдання називається оптимизационной. Якщо оптимізація пов'язана з розрахунком оптимальних значень параметрів при заданій структурі об'єкта, то вона називається параметричною оптимізацією. Завдання вибору оптимальної структури є структурною оптимізацією.

    Стандартна математична задача оптимізації формулюється таким чином. Серед елементів χ, що утворюють безлічі Χ, знайти такий елемент χ *, який доставляє мінімальне значення f (χ *) заданої функції f (χ). Для того, щоб коректно поставити задачу оптимізації, необхідно задати:

    1. Допустиме безліч - безліч X = {x → | gi (x →) ≤ 0, i = 1, ..., m} ⊂ R n {\ displaystyle \ mathbb {X} = \ {{\ vec {x}} | \; g_ {i} ({\ vec {x }}) \ leq 0, \; i = 1, \ ldots, m \} \ subset \ mathbb {R} ^ {n}} open wikipedia design ;
    2. Цільову функцію - відображення f: X → R {\ displaystyle f: \; \ mathbb {X} \ to \ mathbb {R}} ;
    3. Критерій пошуку (Max або min).

    Тоді вирішити задачу f (x) → min x → ∈ X {\ displaystyle f (x) \ to \ min _ {{\ vec {x}} \ in \ mathrm {X}}} Тоді вирішити задачу f (x) → min x → ∈ X {\ displaystyle f (x) \ to \ min _ {{\ vec {x}} \ in \ mathrm {X}}}   означає одне з: означає одне з:

    1. Показати, що X = ∅ {\ displaystyle \ mathbb {X} = \ varnothing} .
    2. Показати, що цільова функція f (x →) {\ displaystyle f ({\ vec {x}})} не обмежена знизу.
    3. Знайти x → * ∈ X: f (x → *) = min x → ∈ X f (x →) {\ displaystyle {\ vec {x}} ^ {*} \ in \ mathbb {X}: \; f ( {\ vec {x}} ^ {*}) = \ min _ {{\ vec {x}} \ in \ mathbb {X}} f ({\ vec {x}})} .
    4. Якщо ∄ x → * {\ displaystyle \ nexists {\ vec {x}} ^ {*}} , То знайти inf x → ∈ X f (x →) {\ displaystyle \ inf _ {{\ vec {x}} \ in \ mathbb {X}} f ({\ vec {x}})} .

    Якщо мінімізується функція не є опуклою , То часто обмежуються пошуком локальних мінімумів і максимумів: точок x 0 {\ displaystyle x_ {0}} Якщо мінімізується функція не є   опуклою   , То часто обмежуються пошуком локальних мінімумів і максимумів: точок x 0 {\ displaystyle x_ {0}}   таких, що всюди в деякій їх околиці f (x) ≥ f (x 0) {\ displaystyle f (x) \ geq f (x_ {0})}   для мінімуму і f (x) ≤ f (x 0) {\ displaystyle f (x) \ leq f (x_ {0})}   для максимуму таких, що всюди в деякій їх околиці f (x) ≥ f (x 0) {\ displaystyle f (x) \ geq f (x_ {0})} для мінімуму і f (x) ≤ f (x 0) {\ displaystyle f (x) \ leq f (x_ {0})} для максимуму.

    Якщо допустиме безліч X = R n {\ displaystyle \ mathbb {X} = \ mathbb {R} ^ {n}} Якщо допустиме безліч X = R n {\ displaystyle \ mathbb {X} = \ mathbb {R} ^ {n}}   , То таке завдання називається завданням безумовної оптимізації, в іншому випадку - завданням умовної оптимізації , То таке завдання називається завданням безумовної оптимізації, в іншому випадку - завданням умовної оптимізації.

    Загальна запис завдань оптимізації задає велика різноманітність їх класів. Від класу завдання залежить підбір методу (ефективність її рішення). Класифікацію задач визначають: цільова функція і допустима область (задається системою нерівностей і рівностей або більш складним алгоритмом). [2]

    Методи оптимізації класифікують відповідно до завдань оптимізації:

    • Локальні методи: сходяться до якого-небудь локального екстремуму цільової функції. У разі унімодальної цільової функції, цей екстремум единственен, і буде глобальним максимумом / мінімумом.
    • Глобальні методи: мають справу з багатоекстремального цільовими функціями. При глобальному пошуку основним завданням є виявлення тенденцій глобального поведінки цільової функції.

    Існуючі в даний час методи пошуку можна розбити на три великі групи:

    1. детерміновані;
    2. випадкові (стохастичні);
    3. комбіновані.

    За критерієм розмірності допустимого безлічі, методи оптимізації ділять на методи одновимірної оптимізації та методи багатовимірної оптимізації.

    По виду цільової функції і допустимого безлічі, завдання оптимізації та методи їх вирішення можна розділити на наступні класи:

    За вимогами до гладкості і наявності у цільової функції приватних похідних, їх також можна розділити на:

    • прямі методи, можуть бути використані лише обчислень цільової функції в точках наближень;
    • методи першого порядку : Вимагають обчислення перших приватних похідних функції;
    • методи другого порядку: вимагають обчислення друге приватних похідних, тобто гессіан цільової функції.

    Крім того, оптимізаційні методи діляться на наступні групи:

    Залежно від природи множини X завдання математичного програмування класифікуються як:

    Крім того, розділами математичного програмування є параметричне програмування , динамічне програмування і стохастичне програмування .

    Математичне програмування використовується при вирішенні оптимізаційних задач дослідження операцій .

    Спосіб знаходження екстремуму повністю визначається класом завдання. Але перед тим, як отримати математичну модель, потрібно виконати 4 етапи моделювання:

    • Визначення меж системи оптимізації
      • Відкидаємо ті зв'язку об'єкта оптимізації із зовнішнім світом, які не можуть сильно вплинути на результат оптимізації, а, точніше, ті, без яких рішення спрощується
    • Вибір керованих змінних
      • «Заморожуємо» значення деяких змінних (некеровані змінні). Інші залишаємо приймати будь-які значення з області допустимих рішень (керовані змінні)
    • Визначення обмежень на керовані змінні
      • ... (рівності і / або нерівності)
    • Вибір числового критерію оптимізації (наприклад, показника ефективності )
      • Створюємо цільову функцію

    завдання лінійного програмування були першими детально вивченими завданнями пошуку екстремуму функцій при наявності обмежень типу нерівностей . В 1820 році Фур'є і потім в 1947 році Джордж Данциг запропонував метод спрямованого перебору суміжних вершин в напрямку зростання цільової функції - симплекс-метод , Що став основним при вирішенні задач лінійного програмування.

    Присутність в назві дисципліни терміна «програмування» пояснюється тим, що перші дослідження і перші програми лінійних оптимізаційних задач були в сфері економіки, так як в англійській мові слово «programming» означає планування , Складання планів або програм. Цілком природно, що термінологія відображає тісний зв'язок, який існує між математичною постановкою завдання і її економічної інтерпретацією (вивчення оптимальної економічної програми). термін « лінійне програмування »Був запропонований Дж. Данцигом в 1949 році для вивчення теоретичних та алгоритмічних задач, пов'язаних з оптимізацією лінійних функцій при лінійних обмеженнях.

    Тому найменування «математичне програмування» пов'язане з тим, що метою рішення завдань є вибір оптимальної програми дій.

    Виділення класу екстремальних задач, що визначаються лінійним функціоналом на безлічі, що задається лінійними обмеженнями, слід віднести до 1930-х років. Одними з перших, що досліджували в загальній формі завдання лінійного програмування, були: Джон фон Нейман - математик і фізик, який довів основну теорему про матричних іграх і вивчив економічну Модель , Що носить його ім'я, і Л. В. Канторович - радянський академік, лауреат Нобелівської премії (1975), який сформулював ряд завдань лінійного програмування і запропонував в 1939 році метод їх вирішення ( метод дозволяють множників ), Незначно відрізняється від симплекс-методу.

    В 1931 році угорський математик Б. Егерварі розглянув математичну постановку і вирішив задачу лінійного програмування, що має назву «проблема вибору», метод вирішення отримав назву « угорського методу ».

    Л. В. Канторовичем спільно з М. К. Гавуріним в 1949 році розроблено метод потенціалів , Який застосовується при вирішенні транспортних завдань . У наступних роботах Л. В. Канторовича, В. С. Немчинова , В. В. Новожилова , А. Л. Лур'є , А. Брудно , А. Г. Аганбегяна , Д. Б. Юдіна , Е. Г. Гольштейна та інших математиків і економістів отримали подальший розвиток як математична теорія лінійного і нелінійного програмування , Так і додаток її методів до дослідження різних економічних проблем.

    Методам лінійного програмування присвячено багато робіт зарубіжних вчених. В 1941 році Ф. Л. Хітчкок поставив транспортну задачу . Основний метод розв'язання задач лінійного програмування - симплекс-метод - був опублікований в 1949 році Дж. Данцигом. Подальший розвиток методи лінійного та нелінійного програмування отримали в роботах Г. Куна , А. Таккера , Гасса (Saul. I. Gass), Чарнеса (A. Charnes), била (EM Beale) і ін.

    Одночасно з розвитком лінійного програмування велика увага приділялася завданням нелінійного програмування , В яких або цільова функція , Або обмеження, або те й інше нелінійні. У 1951 році була опублікована робота Г. Куна і А. Таккера , В якій наведено необхідні і достатні умови оптимальності для вирішення завдань нелінійного програмування. Ця робота стала основою для подальших досліджень в цій області.

    Починаючи з 1955 році опублікований багато робіт, присвячених квадратическому програмування (Роботи Била, Баранкіна і Р. Дорфман , Франка (M. Frank) і Ф. Вулфа [En] , Г. Марковіца та ін.). У роботах Денніса (JB Dennis), Розена (JB Rosen) і Зонтендейка (G. Zontendijk) розроблені градієнтні методи вирішення завдань нелінійного програмування.

    В даний час для ефективного застосування методів математичного програмування і рішення задач на комп'ютерах розроблені алгебраїчні мови моделювання , Представниками якими є AMPL і LINGO .

    • Абакаров А. Ш., Сушков Ю. А. Статистичне дослідження одного алгоритму глобальної оптимізації . - Праці ФОРА, 2004.
    • Акуліч І. Л. Математичне програмування в прикладах і завданнях: Учеб. посібник для студентів економ. спец. вузів. - М.: Вища школа, 1986.
    • Гілл Ф., Мюррей У., Райт М. Практична оптимізація. Пер. з англ. - М.: Мир, 1985.
    • Гірсанов І. В. Лекції з математичної теорії екстремальних задач. - М.; Іжевськ : НДЦ «Регулярна і хаотична динаміка», 2003. - 118 с. - ISBN 5-93972-272-5 .
    • Жіглявскій А. А., Жілінкас А. Г. Методи пошуку глобального екстремуму. - М.: Наука, Физматлит, 1991.
    • Кишень В. Г. Математичне програмування. - Вид-во фіз.-мат. літератури, 2004.
    • Корн Г., Корн Т. Довідник з математики для науковців та інженерів. - М.: Наука, 1970. - С. 575-576.
    • Коршунов Ю. М., Коршунов Ю. М. Математичні основи кібернетики. - М.: Вища школа, 1972.
    • Максимов Ю. А., Філліповская Е. А. Алгоритми рішення задач нелінійного програмування. - М.: МІФІ, 1982.
    • Максимов Ю. А. Алгоритми лінійного і дискретного програмування. - М.: МІФІ, 1980.
    • Плотніков А. Д. Математичне програмування = експрес-курс. - 2006. - С. 171. - ISBN 985-475-186-4 .
    • Растригин Л. А. Статистичні методи пошуку. - М., 1968.
    • Діагональні методи глобальної оптимізації (Електронний ресурс) / Сергєєв Я.Д., Квасов Д.Є. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2008. 341с.
    • Хемді А. Таха. Введення в дослідження операцій = Operations Research: An Introduction. - 8 видавництво. - М.: Вільямс , 2007. - С. 912. - ISBN 0-13-032374-8 .
    • Кіні Р. Л., Райфа Х. Прийняття рішень при багатьох критеріях: переваги і заміщення. - М.: Радио и связь, 1981. - 560 с.
    • С.І.Зуховіцкій , Л.І.Авдеева. Лінійне і опукле програмування. - 2-е изд., Перераб. і доп .. - М.: Видавництво «Наука», 1967.
    • Мінаєв Ю. М. Стабільність економіко-математичних моделей оптимізації. - М.: Статистика, 1980.
    • Моїсеєв Н. Н. Чисельні методи в теорії оптимальних систем. - М: Наука, 1971. - 424 с.
    • Моїсеєв Н. Н. Елементи теорії оптимальних систем. - М: Наука, 1975. - 528 с.
    • Моїсеєв Н. Н. , Іванілов Ю. П., Столярова Є. М. Методи оптимізації. - М: Наука, 1978. - 352 с.
    • Дегтярьов Ю. І. Методи оптимізації. - М: Радянське радіо, 1980. - 272 с.
    • Реклейтіс Г., Рейвіндран А., Регсдел К. Оптимізація в техніці. - М.: Мир, 1986. - 400 с.
    • Романовський І. В. Алгоритми рішення екстремальних задач. - М: Наука, 1977. - 352 с. - 16 000 прим.

    Новости

    Хороший туристический ресурс

    Вместе с теплой весенней погодой приближается также пора отдыха и путешествий. Многие любители посетить неординарные достопримечательные места уже расставляют приоритеты к вариантам, которые давно

    Когда мы с мужем отправляемся куда-то далеко на машине, я люблю посмотреть фильм на телефоне. Для этого недавно приобрела

    Где купить переходник на объектив

    Я родился с камерой, что звучит смешно. Начал я фотографировать в шесть лет, но никогда не задумывался, о том, что мне подарят когда-нибудь зеркальный фотоаппарат. Но фотографом я так и не стал, я

    www.natali.ua www.buhgalteria.com.ua www.blitz-press.com.ua  | www.blitz-price.com.ua  | www.blitz-tour.com.ua
     
    Rambler's Top100
     письмо веб-мастеру
    Copyright c 2000, Блиц-Информ