Streszczenie
Użyte terminy: Niech X i Y będą dwoma zestawami. Akt F, w którym każdy element 
pasował tylko jeden przedmiot 
, nazywa się mapowaniem zbioru X na zbiór Y lub funkcję zdefiniowaną na X z wartością
Y. Extremum to maksymalna lub minimalna wartość funkcji w danym zbiorze. Zadaniem bezwarunkowej optymalizacji jest znalezienie minimum lub maksimum funkcji przy braku jakichkolwiek ograniczeń. Optymalizacja warunkowa - wyszukiwanie minimum lub maksimum funkcji w obecności ograniczeń. Bezwarunkowa optymalizacja - wyszukiwanie minimum lub maksimum funkcji bez obecności aktywnych ograniczeń. Sekwencja zdefiniowanych i nieujemnych funkcji w zbiorze nazywana jest funkcją kary lub kary. Proces iteracyjny to wiele powtarzających się czynności (obliczeń) do momentu spełnienia warunku końcowego. Funkcja celu jest funkcją, która łączy cel (zmienna, która ma zostać zoptymalizowana) ze zmiennymi kontrolowanymi w problemie optymalizacji.
W tym artykule problem znalezienia ekstremum (maksimum) funkcji kilku zmiennych jest rozwiązany w obecności ograniczenia równości. W rozwiązaniu wykorzystywana jest metoda funkcji karnych, która pozwala ograniczyć zadanie poszukiwania ekstremum warunkowego do rozwiązania sekwencji problemów w celu znalezienia bezwarunkowego ekstremum funkcji pomocniczej.
Liczba stron
22
Liczba rysunków
9
Liczba tabel
2
Liczba wniosków
2
Spis treści
Wprowadzenie
1. Główna część
1.1 Oświadczenie o problemie
1.2 Analiza zadania
1.3 Opis metody funkcji karnej
1.4 Graficzne rozwiązanie problemu
1.5 Formalizacja obliczeń
2. Struktura aplikacji przeznaczona do rozwiązania problemu
3. Wyniki obliczeń
4. Wnioski
5. Odniesienia
6. Aplikacje
Wprowadzenie
Programowanie matematyczne to dyscyplina matematyczna, która bada teorię i metody rozwiązywania problemów związanych ze znajdowaniem ekstremów funkcji na zbiorach skończonej przestrzeni wektorowej zdefiniowanej przez ograniczenia liniowe i nieliniowe (równości i nierówności). W zależności od charakteru zestawów zadania programowania matematycznego są klasyfikowane jako:
· Zadania programowania dyskretnego (lub optymalizacji kombinatorycznej) - jeśli zbiór jest skończony i policzalny;
· Problemy z programowaniem całkowitym - jeśli zbiór jest podzbiorem zbioru liczb całkowitych;
· Problemy z programowaniem liniowym - jeśli wszystkie ograniczenia i funkcja celu zawierają tylko funkcje liniowe;
· Problemy programowania nieliniowego - jeśli ograniczenia lub funkcja celu zawierają funkcje nieliniowe, a zbiór jest podzbiorem skończonej przestrzeni wektorowej.
Optymalizacja jest działaniem celowym, polegającym na uzyskiwaniu najlepszych wyników w odpowiednich warunkach.
Programowanie matematyczne wykorzystywane jest w rozwiązywaniu problemów optymalizacyjnych badań operacyjnych. Sposób znalezienia ekstremum jest całkowicie zdeterminowany przez klasę zadania.
W tym artykule postawiono zadanie optymalizacji warunkowej, tj. zadanie zawierające pewne ograniczenia dotyczące zmiennych niezależnych w zbiorze G. Ograniczenia te są określone przez zbiór pewnych funkcji, które spełniają równości lub nierówności. Ograniczenia - równości wyrażają związek między parametrami projektu, które należy wziąć pod uwagę przy poszukiwaniu rozwiązania. Ograniczenia nierówności ustanawiają mniej sztywne zależności między parametrami projektowymi, pozwalając im pozostać niezależnymi w jakiejś części domeny G, a zależność od siebie przejawia się w pozostałej części. Rozwiązania problemu optymalizacji warunkowej często nie można znaleźć przy użyciu analitycznych metod rozwiązania, dlatego wymagane jest zastosowanie dodatkowych metod numerycznych.
Obecnie opracowano wiele metod numerycznych dla problemów bezwarunkowej i warunkowej optymalizacji.
Metody optymalizacji warunkowej, co do zasady, redukują rozwiązanie pierwotnego problemu do wielokrotnego rozwiązania pomocniczego problemu bezwarunkowej optymalizacji.
Bezwarunkowe rozwiązanie optymalizacyjne jest prostsze i można je łatwo wdrożyć w nowoczesnych pakietach matematycznych. Aby rozwiązać ten problem, użyto narzędzi programowych MathCAD. Program ten umożliwia wykonywanie obliczeń numerycznych i analitycznych, posiada wygodny interfejs zorientowany matematycznie i doskonałe narzędzia graficzne. System MathCAD został pierwotnie stworzony do numerycznego rozwiązywania problemów matematycznych, a później narzędzia matematyki symbolicznej zostały zintegrowane z systemem Maple, który stopniowo przekształcił MathCAD w uniwersalne narzędzie do rozwiązywania problemów matematycznych. Dlatego wybór tego oprogramowania jest całkiem rozsądny.
1. Główna część
1.1 Oświadczenie o problemie
Musisz znaleźć punkt 
takie
f (x *) = x1 - 2x22 + 4x2 → max (1)
gdzie 
(2)
za pomocą metody funkcji karnej.
1.2 Analiza zadania
To zadanie należy do klasy problemów programowania nieliniowego. Rozwiązany metodą kar. Metoda ta polega na ograniczeniu problemu do ekstremum warunkowego do rozwiązania sekwencji problemów w poszukiwaniu bezwarunkowego ekstremum funkcji pomocniczej, która zostanie skompilowana przy użyciu metod opisanych poniżej. Przeprowadzimy rozwiązanie nowego problemu za pomocą dwóch metod bezwarunkowej optymalizacji innej kolejności. W tym projekcie wybraliśmy metodę kierunków sprzężonych, która jest metodą zerowego rzędu, oraz metodę najbardziej stromego spadku gradientu, która jest metodą pierwszego rzędu.
Wadą najszybszej metody opadania jest niska wydajność optymalizacji funkcji wąwozu. Zastosowanie tej metody jest dopuszczalne, ponieważ funkcja jest ciągła w całej domenie definicji (domeną funkcji jest cała płaszczyzna (x1, x2)), a jej cząstkowe pochodne pierwszego rzędu są ciągłe:
Obie metody bezwarunkowej optymalizacji zmniejszają zadanie znalezienia najmniejszej wartości funkcji kilku zmiennych do wielokrotnego rozwiązania problemów optymalizacji jednowymiarowej. Najbardziej stroma metoda pochylania gwarantuje zbieżność do minimalnego punktu dla funkcji silnie wypukłych. Wraz ze zmniejszaniem się wypukłości zmniejsza się również szybkość zbieżności procesu iteracyjnego. Jeśli konieczne jest znalezienie globalnego minimum funkcji, to dla funkcji ściśle wypukłej rozwiązanie tego problemu jest podobne do poszukiwania lokalnego minimum. W przypadku istnienia kilku minimów, wyszukiwanie globalnego minimum jest zredukowane do wyliczenia wszystkich minimów lokalnych. Metoda kierunków sprzężonych wykorzystuje fakt, że minimum funkcji kwadratowej można znaleźć w nie więcej niż n krokach, pod warunkiem, że poszukiwania prowadzone są wzdłuż kierunków sprzężonych w odniesieniu do macierzy Hesji. Ponieważ wystarczająco duża klasa funkcji celu może być reprezentowana w sąsiedztwie punktu minimalnego za pomocą aproksymacji kwadratowej, opisany pomysł dotyczy również funkcji nie-kwadratowych. Oryginalna funkcja jest ściśle wypukła, a zatem ma tylko jedno minimum, co uzasadnia wybór metod znalezienia bezwarunkowego ekstremum. Bezwarunkowe metody optymalizacji można ocenić za pomocą następujących parametrów:
Strona: 1 2 3 4
